Journées mathématiques X-UPS
Lundi 28 et mardi 29 avril 2014

Chaos en mécanique quantique 

Résumés

Nalini Anantharaman : Exposé 1 : Le théorème d'ergodicité quantique -- Exposé 2 : Quelques questions concernant les fonctions propres du laplacien pdf

Résumé :
Exposé 1. Je donnerai la preuve du théorème principal de cette série d'exposés. Le "théorème d'ergodicité quantique" est dû à A. Shnirelman (1974) avec des preuves plus détaillées de S. Zelditch et Y. Colin de Verdière en 1985. Sur certaines variétés ou dans certains ouverts du plan, ce théorème permet d'affirmer que la plupart des fonctions propres du laplacien sont "uniformément" distribuées. En mécanique quantique, cela correspondrait à des fonctions d'ondes complètement délocalisées. Je montrerai l'argument détaillé sur le tore R^d/Z^d (ce n'est pas le cadre habituel du théorème mais cela permet de travailler dans un langage simple sans parler de variétés). Ensuite je passerai au cadre des variétés plus générales : une fois les objets définis, la preuve est exactement la même que sur le tore. On comparera avec le cas des fonctions propres de la sphère, qui au contraire peuvent être très localisées, et on énoncera la "conjecture d'Unique Ergodicité Quantique", dont la résolution partielle a valu la Médaille Fields à E. Lindenstrauss en 2010.

Exposé 2. Cet exposé peu technique présentera, en s'appuyant sur des images, quelques questions ouvertes concernant les fonctions propres du laplacien sur les variétés compactes ou les ouverts bornés du plan.

Frédéric Faure : Introduction au chaos classique et chaos quantique pdf

Résumé :
(1) On commencera par une brève introduction aux idées et formalisme de la "mécanique quantique" apparue au début du XXème siècle et qui décrit la matière par des "ondes de matière" qui évoluent selon l'équation de Schrödinger. Ces ondes ont une signification probabiliste en physique. Avant, les constituants de la matière étaient décrits par les équations de la "mécanique classique" (Newton 1686, Hamilton 1833) qui sont des lois déterministes pour les trajectoires de particules. On expliquera le passage entre les descriptions classique - quantique en terme de paquet d'onde, assimilable à une particule, et du "principe de correspondance". On présentera des exemples simples de dynamique, qui serviront dans les exposés suivants, que sont la particule libre sur le cercle, sur le tore T², sur la sphère S², dans un billard et sur une surface à courbure négative. Dans tous ces cas, l'opérateur de Schrödinger est le laplacien.
(2) Depuis les travaux de Henri Poincaré (1892) et ensuite Birkhoff, Anosov (1967), Ruelle etc. il est apparu que les trajectoires issues de lois déterministes mais possédant une "forte sensibilité aux conditions initiales" semblent imprévisibles et qu'il y a des propriétés aléatoires émergentes. On parle de "chaos déterministe en mécanique classique". On présentera un modèle assez concret de dynamique chaotique que sont les "billards dispersifs". On établira les propriétés mathématiques du chaos (mélange et ergodicité) sur un modèle similaire mais plus simple appelé "application du chat d'Arnold".
(3) La problématique du chaos quantique est d'étudier la dynamique des ondes quantiques dans un système dont la dynamique classique associée est chaotique comme décrite en (2). Plus précisément on souhaite comprendre l'évolution des ondes mais aussi la structure et la répartition spatiale des ondes stationnaires. On posera ces questions en montrant quelques exemples numériques intrigants qui serviront à introduire les exposés suivants. Par exemple le "théorème d'ergodicité quantique" (1974) établit que lorsque la dynamique classique est ergodique alors presque toutes les ondes quantiques stationnaires sont équi-réparties sur l'espace.

Clotilde Fermanian : Exposé 1 : Opérateurs pseudodifférentiels semi-classiques sur R^d -- Exposé 2 : Calcul pseudodifférentiel et géométrie pdf

Résumé :
Exposé 1. Dans cet exposé, nous donnerons la définition et les premières propriétés des opérateurs pseudodifférentiels sur R^d. En particulier, nous nous attacherons à étudier l'action de ces opérateurs sur L²(R^d) et décrirons quelques résultats de calcul symbolique pseudodifférentiel (formules de composition, inégalité de Garding, calcul fonctionnel).

Exposé 2. Dans cet exposé, nous nous concentrerons sur les propriétés des opérateurs pseudodifférentiels liées à des aspects géométriques. Cette analyse nous permettra d'étudier la structure géométrique de l'espace des phases et ouvrira la voie à la généralisation du calcul pseudodifférentiel sur des variétés; une attention toute particulière sera accordée au tore. Ce sera aussi l'occasion de revenir à la mécanique quantique et de démontrer le théorème d'Egorov.