- Recherche:
- Entropy of semiclassical measures in dimension 2 (pdf,
accepté à Duke Mathematical Journal). Résumé:
Dans
cet article, j'étudie les propriétés asymptotiques des fonctions
propres du Laplacien
sur une surface riemannienne compacte. Pour cela, je considère des distributions
associées aux fonctions propres sur le fibré cotangent. Tout point
d'accumulation de ces distributions pour les hautes énergies est une
mesure de probabilité invariante par le flot géodésique sur le fibré
unitaire cotangent (qu'on appelle mesure semi-classique). Si le flot géodésique vérifie
la propriété d'Anosov (par exemple en courbure strictement
négative), alors je montre que l'entropie de
Kolmogorov-Sinai d'une mesure semi-classique pour le flot
géodésique est bornée inférieurement par la moitié de la borne supérieure
de Ruelle. Ce résultat répond à la question posée par
Anantharaman et Nonnenmacher (voir ici) dans le cas d'un unique exposant de
Lyapunov positif variable.
- Entropy of semiclassical measures for nonpositively curved surfaces
(pdf, soumis).
Résumé: Dans cet article, je montre que la méthode développée dans
l'article `Entropy of semiclassical measures in dimension 2' permet
d'obtenir la même borne sur l'entropie des mesures semi-classiques pour
des surfaces à courbure négative ou nulle. À la différence du cas
Anosov, la mesure de Liouville n'est pas a priori ergodique pour le
flot géodésique (même en genre supérieur à 2). En particulier, ce
résultat interdit que les fonctions propres se concentrent seulement sur une
géodésique fermée instable dans la limite des grandes valeurs propres
mais n'interdit pas qu'elles se concentrent sur des géodésiques stables.
- Entropy of quantum limits for symplectic linear maps of the multidimensional torus (pdf, soumis). Résumé:
Dans le cas d'un symplectomorphisme linéaire A du tore de dimension 2d,
les mesures semiclassiques sont des mesures de probabilité
A-invariantes qui sont associées à des suites d'états quantiques. Dans cet
article, je montre une amélioration des bornes entropiques connues sur
ces mesures semi-classiques. La preuve proposée simplifie certains
aspects des méthodes utilisées précedemment et elle est valable pour
toute matrice A quantifiable.
En particulier, le résultat démontre que si A a une valeur propre en
dehors du cercle unité, alors une mesure semi-classique ne peut pas
seulement être portée par une orbite périodique de A.
- Entropy of semiclassical measures for quantized cat-maps
(pdf):
Dans cette note, je donne une preuve simplifiée du résultat
d'Anantharaman et Nonnenmacher dans le cas des symplectomorphismes
hyperboliques du tore de dimension 2. Dans ce cas, la preuve
n'utilise que des résultats sur la délocalisation des états cohérents
sur le tore (Bonechi, de Bièvre, Faure, Nonnenmacher). La preuve
proposée s'adapte en dimension supérieure et cette extension fait
l'objet de l'article `Entropy of quantum limits for symplectic linear maps of the multidimensional torus'.
- Exposé au séminaire X-EDP (pdf): Texte pour les Actes du séminaire X-EDP. Exposé sur l'entropie des mesures semi-classiques en dimension 2 (le 15/12/2009).
- Thèse (pdf): J'ai effectué mon doctorat au CMLS sous la direction de Nalini Anantharaman.
J'ai soutenu ma thèse le 25 novembre 2009 à l'Ecole Polytechnique. Dans ma thèse, j'ai étudié différentes propriétés des mesures
semi-classiques pour des systèmes dynamiques chaotiques. On peut y
trouver certains des articles/notes ci-dessus sur l'entropie des
mesures semi-classiques. On y trouve aussi des résultats de grandes
déviations des mesures semi-classiques (chapitres 3 et 5) dont un
travail en préparation avec Nalini Anantharaman pour les solutions de
l'équation de Schrödinger (chapitre 5).
- Enseignement:
- Je donne des cours de soutien en mathématiques pour les
étudiants étrangers (EV2) de première année à l'Ecole Polytechnique.
Ces cours sont destinés aux élèves qui suivent le cours `Eléments d'analyse et d'algèbre' (MAT331).
Thèmes abordés dans ces cours: représentation
des groupes finis, intégrale de Lebesgue, transformation de Fourier,
fonctions holomorphes et méromorphes.