SISYPH

Description du projet (janvier 2014 - juin 2017)

Dans le cadre du projet SISYPH, qui regroupe une équipe allemande et une équipe française, les thèmes suivants seront abordés, aussi bien de manière indépendante qu'en relation les uns avec les autres:

1. la symétrie miroir comme un outil efficace pour le calcul d'invariants de Gromov-Witten de différentes sortes, pour des variétés algébriques lisses ou des orbifoldes,

2. les singularités irrégulières d'équations différentielles linéaires en toute dimension, aussi bien du point de vue des \(\mathcal D\)-modules holonomes que de celui des déformations isomonodromiques,

3. les propriétés liées à la théorie de Hodge pour de tels systèmes différentiels.

Un des aspects originaux du projet consiste à obtenir des résultats dans chacun des thèmes en mettant en évidence l'interaction entre ces thèmes par l'utilisation de divers outils et méthodes (géométrie algébrique, théorie de Hodge non commutative, théorie des singularités et \(\mathcal D\)-modules, géométrie symplectique) avec, à l'arrière-plan, des motivations et des conjectures formulées par des physiciens.

Les systèmes différentiels hypergéométriques généralisés (systèmes GKZ) feront l'objet d'un intérêt tout particulier, en tant que modèles pour le \(\mathcal D\)-module quantique d'une variété ou orbifolde torique. Ces systèmes GKZ fournissent aussi une classe étendue d'exemples de \(\mathcal D\)-modules holonomes à singularités irrégulières, sur laquelle des conjectures et des résultats préliminaires peuvent être testés.

La compréhension de la géométrie de différents types d'espaces de modules, comme ceux pour les singularités isolées d'hypersurfaces, pour les courbes ou plus généralement pour les applications stables (qui entrent dans la définition même des invariants de Gromov-Witten), mais aussi pour les connexions méromorphes sur les fibrés vectoriels, est une des motivations les plus importantes de l'ensemble du projet. Bien que les premiers espaces soient bien connus pour être essentiels dans la formulation de la symétrie miroir, une question fondamentale sera de donner sens et comprendre aussi bien que possible la notion de symétrie miroir pour les espaces de modules de connexions à singularités irrégulières sur les surfaces de Riemann.

Le projet a aussi pour but une meilleure compréhension du phénomène de Stokes, qui est une propriété caractéristique des singularités irrégulières d'équations différentielles complexes. L'intervention de ce phénomène en théorie de Gromov-Witten ou dans les modèles de Landau-Ginzburg sera au centre des préoccupations du projet. Sa relation avec des propriétés venant de la théorie de Hodge (en particulier leur aspect non commutatif) permettra l'analyse des espaces de modules des singularités.