SISYPH

Beschreibung des Projekts (Januar 2014 - Juni 2017)

Das SISYPH Projekt besteht aus einem französischen Partner und einem deutschen Partner. Folgende Themen werden sowohl für sich als auch in Verbindung zueinander betrachtet werden:

1. Spiegelsymmetrie als effektives Werkzeug für die Berechnung von Gromov-Witten-Invarianten von algebraischen Mannigfaltigkeiten oder Orbifolds,

2. Irreguläre Singularitäten von linearen Differentialsystemen, von der Warte holonomer \(\mathcal D\)-Moduln aus oder ausgehend von isomonodromischen Deformationen,

3. Hodge-theoretische Aspekte solcher Differentialsysteme.

Einer der originären Aspekte des Projekts besteht darin, in allen Themen Resultate mit Hilfe des Zusammenspiels und der Verbindungen zu den anderen Themen zu erhalten, unter Nutzung verschiedener Werkzeuge und Methoden (algebraische Geometrie, nicht-kommutative Hodge-Theorie, Singularitätentheorie, \(\mathcal D\)-Moduln, symplektische Geometrie) und, im Hintergrund, Motivationen und Vermutungen aus der Physik.

Die verallgemeinerten hypergeometrischen Systeme linearer Differentialgleichungen (GKZ-Systeme) bilden ein zentrales Thema, als Modell für die Quanten \(\mathcal D\)-Moduln torischer Mannigfaltigkeiten oder Orbifolds. Diese GKZ-Systeme bilden auch eine grosse Klasse von Beispielen holonomer \(\mathcal D\)-Moduln mit irregulären Singularitäten, bei denen Vermutungen und vorläufige Ergebnisse getestet werden können.

Das Verständnis der Geometrie verschiedener Typen von Modulräumen wie denen von isolierten Hyperflächensingularitäten, von komplexen Kurven, oder allgemeiner von stabilen Abbildungen (die in die Definition von Gromov-Witten-Invarianten eingehen), aber auch von meromorphen Zusammenhängen auf Vektorbündeln ist eine der wichtigsten Motivationen des ganzen Projekts. Die erstgenanten Modulräume sind bekanntermassen zentral für die Spiegelsymmetrie. Es wird eine fundamentale Aufgabe sein, auch bei den Modulräumen von Zusammenhängen mit irregulären Singularitäten den Begriff der Spiegelsymmetrie mit Leben und Gehalt zu füllen.

Ein Ziel des Projekts ist auch ein besseres Verständnis des Stokes-Phänomens, das eine zentrale Eigenschaft der irregulären Singularitäten komplexer Differentialgleichungssysteme ist. Die Bedeutung des Stokes-Phänomens bei Gromov-Witten-Invarianten und bei Landau-Ginzburg-Modellen wird auch von grosser Bedeutung für das Projekt sein. Seine Beziehung zu Hodge-theoretischen Eigenschaften (insbesondere ihre nicht-kommutativen Aspekte) werden helfen, Modulräume von Singularitäten besser zu verstehen.