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Ce cours constitue une initiation à l'analyse mathématique réelle et complexe, dont il présente trois grandes directions : la théorie des fonctions holomorphes (c'est-à-dire des fonctions dérivables d'une variable complexe), l'intégration et l'analyse de Fourier, et enfin la théorie des espaces de Hilbert, à raison d'environ 3 blocs par thème.

Les notions mathématiques étudiées seront motivées et illustrées par leurs applications dans divers contextes scientifiques (mécanique des fluides et géométrie des surfaces pour les fonctions holomorphes, diffraction en optique pour l'analyse de Fourier, mécanique quantique pour les espaces de Hilbert.) La partie la plus abstraite du cours est sans doute la théorie de Lebesgue de l'intégration, qui sert de fondation à la fois aux espaces de Hilbert et aux probabilités présentées dans le cours de 1ère année de mathématiques appliquées et qui sera illustrée principalement à travers ses applications en analyse de Fourier. Un amphi sera consacré aux compléments de topologie indispensables pour l'étude de l'intégration et des espaces de Hilbert. La théorie des espaces de Hilbert qui mélange analyse et géométrie est présentée en vue d'une première approche à la théorie spectrale, outil essentiel pour résoudre des équations aux dérivées partielles comme certains le verront dans les cours de MAT 431 ou MAT 432.

Cet enseignement ne fait appel à aucune connaissance mathématique particulière autre que celles figurant aux programmes des classes préparatoires. Il fournit un socle de compétences fondamentales en analyse mathématique permettant d'aborder avec profit tous les enseignements de mathématiques de 2ème année, notamment le module long MAT431, ou le module court MAT432, qui en constituent le prolongement naturel. Cet ensemble de cours vise à fournir aux élèves un fond culturel mathématique solide qui leur ouvrira l'accès aux grands domaines scientifiques : mathématiques fondamentales et appliquées, mécanique, physique...

MAT311: Analyse réelle et complexe (2009-2010)

(cours donné avec Y. Laszlo et C. Viterbo)