Le thème choisi cette
année est l'étude des variétés de
caractères, c'est-à-dire de l'espace des
représentations modulo conjugaison d'un groupe G de type fini
à valeurs dans
SL(2) sur le corps des complexes.
Lorsque G est le groupe fondamental d'une surface ou d'une
variété de dimension 3 M, les points d'un tel espace sont
reliés de manière très étroite à des
structures géométriques portées
par M (hyperbolique ou projective). Pour étudier ces structures,
on est amené à compactifier ces espaces. La
théorie de Morgan-Shalen nous permet de le faire en ajoutant des
points idéaux correspondant à des représentations
à valeurs dans SL(2,k) ou k est un corps métrisé
non-archimédien.
Au premier trimestre, nous aborderons l'article de
Culler-Shalen qui relie entre autres l'étude
de la variété des caractères à la
construction de
surfaces
incompressibles dans certaines variétés de dimension 3.
Ce sera le
prétexte pour aborder les thématiques suivantes:
- corps non-archimédiens
- espaces de Berkovich
- arbres réels
- théorie de Bass-Serre
- variétés de dimension 3 hyperboliques
- compactification de Morgan-Shalen
Le groupe de travail ne suppose
aucun
pre-requis.
Références:
Programme:
en italique est indiqué le programme du séminaire de
géométrie ergodique du jour.
Lundi 7 Novembre
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10:15 -
12:15 |
C. Favre
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Variété des
caractères et théorème de Thurston. |
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13:30 -
15:30 |
P. Massot |
Autour des surfaces
incompressibles dans les variétés de dimension 3
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Lundi 21 Novembre
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10:15 -
12:15 |
J. Marché
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Théorie de
Culler Shalen (II) |
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13:30 -
15:30 |
R. Detcherry
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Noeuds à
deux ponts
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Lundi 16 Janvier
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10:15 -
12:15 |
R. Dujardin
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Holonomie d'une
structure projective complexe
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13:30 -
15:30 |
B. Deroin
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Applications
d'Epstein-Schwarz
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Lundi 23 Janvier
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10:15 -
12:15 |
F. Paulin |
Dégénérescences
de
structures projectives complexes d'après Dumas (I) |
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13:30 -
15:30 |
F. Paulin |
Dégénérescences
de
structures projectives complexes d'après Dumas (II) |
Programme du groupe de travail et
références:
B. Deroin:
- notion de K(π,1)
- graphes de groupes: définitions et
propriétés générales
- arbre de Bruhat-Tits de SL(2,K) pour K de valuation
discrète en termes de réseaux dans K^2
- théorème de structure pour SL(2,K)
références:
C. Favre:
- variété des représentations d'un groupe G de
type fini dans SL(2)
- irreductibilité des représentations et leur
caractères
- structure affine sur l'espace des caractères Ch(G)
- principe de Culler-Shalen: toute courbe dans la
variété de caractères induit une action sur un
arbre réel
- théorème de Thurston: estimation de la dimension de
Ch(G) pour les groupes fondamentaux de 3-variétés
hyperboliques de volume fini
références générales:
Sur le problème de non-séparabilité de la
variété des caractères:
A. Parreau
Espaces
de
représentations
complètement
réductibles.
Des exemples de variété des caractères avec
singularités:
D. Johnson et J. Millson
Deformation
spaces
associated
to
compact
hyperbolic
manifolds.
M. Kapovich et J. Millson
On the
deformation theory of representations of fundamental groups of compact
hyperbolic 3-manifolds
La variété des caractères est le plus gros
quotient séparé de Ch(G)/SL(2):
M. Wolff
Connected components
of the compactification of representation spaces of surface groups
P. Massot:
- Autour des surfaces incompressibles dans les
variétés de dimension 3
référence
Résumés des exposés du séminaire:
- A. Glutsyuk: Instabilité de sous-groupes libres non
discrets dans les groupes de Lie.
L'exposé concerne les sous-groupes libres finiment
engendrés et non discrets dans les groupes de Lie. Nous
montrerons, qu'il est toujours possible de faire une
perturbation arbitrairement petite des générateurs, de
sorte que le nouveau groupe, engendré par les
générateurs perturbés, soit non libre. Autrement
dit, qu'il est toujours possible d'approximer la partie
génératrice d'un sous-groupe libre non discret par une
collection d'éléments du groupe de Lie satisfaisant une
rélation non triviale. Ce résultat est
généralisé à une certaine classe de
représentations de sous-groupes non libres. Nous
présenterons aussi un petit résultat concernant le taux
d'approximation en termes de la longueur minimale de relation dans le
sous-groupe approximant.
- C. Favre: Théorème de Montel non archimédien
C'est un travail en commun avec J. Kiwi et E. Trucco qui porte sur la
notion de famille normale dans un contexte non-archimédien. Nous
démontrons un analogue dans ce contexte du
théorème de Montel et donnons quelques applications de
nature dynamique.
- O. Guichard: Espaces de Teichmuller
généralisés
Nous présenterons plusieurs constructions de composantes
connexes de la variété des représentations d'un
groupe de surface (le groupe fondamental d'une surface fermée,
connexe, orientée et de genre supérieur) dans un groupe
de Lie réel semi-simple qui peuvent être
considérées comme des généralisations de
l'espace de Teichmuller.
Il s'agit d'abord des travaux de Hitchin dans le cas où le
groupe de Lie est déployé qui sont basés sur la
correspondance avec les fibrés de Higgs. Ensuite nous exposerons
le cas des représentations maximales quand le groupe de Lie est
de type hermitien et leur étude au moyen de la cohomologie
bornée (Burger, Iozzi et Wienhard). Puis, viendront les travaux
de Fock et Goncharov sur les représentations positives
où, cette fois, l'outil principal est la "positivité
totale" dans les groupes déployés due à Lusztig.
A chaque fois nous essaierons de donner les clés de ces
constructions et nous instisterons sur les propriétés
géométriques des représentations dans ces espaces
de Teichmuller généralisés. Nous n'aborderons pas
de travaux personnels.
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