Hefei 10 - 12/2022

Surfaces de Riemann


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Synopsis :

Riemann surfaces are spaces over which one can naturally define the notion of holomorphic function. These objects lie at the crossroad between many mathematical fields: differential geometry, number theory, dynamical systems, or algebraic geometry. The aim of this course is to propose an introduction to various geometric aspects of Riemann surfaces including Riemann-Roch theorem for compact Riemann surfaces and the uniformization theorem.

Prérequis:



Évaluation

L'évaluation sera basée sur un examen final.


Plan du cours:


I. Introduction: rappels, définition des surfaces de Riemann et premiers exemples
  1. Rappels sur les fonctions holomorphes dans le plan complexe
  2. Surfaces de Riemann (définition)
  3. Premiers exemples: sphère de Riemann, courbes elliptiques, sous-variétés affine, théorème de Koebe-Poincaré
  4. Action de groupe holomorphe et quotient de surfaces de Riemann

Exercices

Références

II. Objets holomorphes sur les surfaces de Riemann
  1. Le théorème d'uniformisation: énoncé et applications.
  2. Fonctions sous-harmoniques, et existence des fonctions de Green.
  3. Différentielles sur les surfaces de Riemann.
  4. Démonstration du théorème d'uniformisation.

Exercices

Références

III. Surfaces de Riemann compactes
  1. Topologie des surfaces de Riemann (groupe fondamental, genre topologique, premier groupe d'homologie)
  2. Caractéristique d'Euler Poincaré et Formule de Riemann-Hurwitz
  3. Corps des fonctions méromorphes
  4. Groupe des diviseurs, équivalence rationnelle, espace de sections, diviseur canonique
  5. Théorème de Riemann-Roch

Exercices

Références



Lectures: