Séminaire Autour des Cycles Algébriques

A. Cadoret - B. Kahn - A. Pirutka

2 Place Jussieu, Paris 5ieme ou 8 place F. Miterrand 75013 Paris

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Juin 2015 Affiche

10/06/2015 14h30-15h30, Jussieu 15-16-413 Frédéric Campana, Institut Élie Cartan, Nancy
Stabilité birationnelle du fibré cotangent orbifolde.

Si (X,D) est une paire `orbifolde' constituée d'un variété projective complexe lisse et connexe, et d'un Q-diviseur sur X à croisements normaux dont les composantes irréductibles sont affectées de coefficients rationnels dans ]0,1], on définit (sur un revêtement ramifié adéquat) son fibré cotangent `orbifolde' $\Omega^1(X,D)$ qui interpole entre celui de X (pour D=0) et $\Omega^1_X(Log(Supp(D))$ (cas où les coefficients sont tous égaux à 1). Le résultat principal est la pseudo-effectivité des determinants des quotients des puissances tensorielles de $\Omega^1(X,D)$ lorsque $K_X+D$ est pseudo-effectif. Ceci étend au cas `orbifolde' et renforce un résultat classique de Y. Miyaoka (correspondant à D=0, avec pseudo-effectivité remplacée par 'semi-positivité générique-notion beaucoup plus faible). La démonstration (en caractéristique 0) diffère de celle de Miyaoka, et repose en particulier sur un nouveau critère d'algébricité pour les feuilletages, généralisant celui de Bogomolov-McQuillan (similaire à celui de Bost dans un contexte arithmétique). L'une des applications immediates est le caractère `big' de $K_X+D$ lorsqu'un fibré en droites `big' sur $X$ s'injecte dans une puissance tensorielle du cotangent orbifolde. Ce résultat, combiné avec un théorème de Viehweg-Zuo, implique la conjecture d'hyperbolicité de Shafarevich-Viehweg. Travail en commun (et en développement) avec M. Paun.

10/06/2015 16h-17h, Jussieu 15-16-413 Igor Rapinchuk, Harvard University
Division algebras with the same maximal subfields.

In this talk I will address the following problem. Suppose D and D' are central division algebras over a field K. What can be said about D and D' if they have the same maximal subfields? I will discuss various motivations for this question and recent results. I will also survey recent developments on the problem of characterizing absolutely almost simple algebraic groups having the same isomorphism classes of maximal tori over the field of definition. This talk will be a report on joint work with V.Chernousov and A.Rapinchuk.


Avril 2015 Affiche

29/04/2015 14h30-15h30, Jussieu 15-16-413 Sergey Gorchinskiy, Institut Mathématique Steklov, Moscou
Catégories fantômes et théorème de Merkurjev-Suslin.

L'exposé se base sur un travail commun avec D. Orlov. Nous expliquons la construction d'une sous-catégorie admissible non-triviale dans la catégorie derivée d'une variété projective lisse avec K-groupes et homologie de Hochschild trivials. Le point clé consiste en un calcul des groupes de Chow d'un produit de deux surfaces à l'aide du théorème de Merkurjev-Suslin. Toutes les notions utilisées seront expliquées.

29/04/2015 16h-17h, Jussieu 15-16-413 Ben Moonen, Radboud University Nijmegen
On the Tate and Mumford-Tate conjectures for varieties with h^{2,0}=1.

In my talk I will explain the proof of the Tate conjecture (over finitely generated fields of characteristic 0), and the stronger Mumford-Tate conjecture, for divisor classes of varieties with Hodge number $h^{2,0} = 1$, under a mild assumption on their moduli. Part of the proof involves a generalization of earlier work of Yves André, but there are several new techniques that play a role. If time permits, I will try to discuss the application of the main result to some classes of surfaces of general type.

29/04/2015 17h30-18h30, Jussieu 15-16-413 Javier Fresán, ETH, Zürich
Une loi de réciprocité pour les périodes des connexions

Saito et Terasoma ont démontré une "formule du produit " pour le déterminant des périodes d'un fibré à connexion à singularités régulières dont le systàme local des sections horizontales est muni d'une structure rationnelle. Dans un premier temps, j'expliquerai comment leur théorème permet de déduire des nouveaux cas d'une conjecture de Gross-Deligne exprimant, à un nombre algébrique pràs, les périodes des structures de Hodge CM comme produit des valeurs gamma. Je discuterai ensuite le corps de définition de la constante implicite et je montrerai comment calculer l'action de Galois en passant par les facteurs epsilon en caractéristique finie. Une partie des résultats est travail en cours avec M. Asakura.


Mars 2015 Affiche

04/03/2015 14h30-15h30, Jussieu 15-16-413 Baptiste Calmès, Université d'Artois
Cohomologie motivique généralisée et K-théorie de Milnor-Witt

(travail commun avec Jean Fasel) La construction de la cohomologie motivique de Voevodsky commence par la définition des correspondances finies, une version algébrique des fonctions multivaluées. Bien que les groupes de Chow n'apparaissent pas explicitement à ce stade, j'expliquerai une manière de reformuler cette définition pour les révéler. Puis, je montrerai comment remplacer ces groupes de Chow par des groupes de Chow-Witt, et comment en tirer de nouveaux groupes de cohomologie, qui raffinent ceux de Voevodsky. Enfin, j'expliquerai certains cas où cette nouvelle cohomologie est calculée: je donnerai un analogue hermitien du théorème de Nesterenko-Suslin-Totaro-Voevodsky qui fournit un isomorphisme entre la partie diagonale de la cohomologie motivique d'un corps et la K-théorie de Milnor de ce corps.

04/03/2015 16h-17h, Jussieu 15-16-413 Uwe Jannsen, Universität Regensburg
Duality for logarithmic de Rham-Witt sheaves with modulus, and wildly ramified class field theory of varieties over finite fields

This is a report on joint work with Shuji Saito. For smooth proper varieties over a perfect field we introduce logarithmic de Rham-Witt sheaves with modulus supported in a divisor with normal crossings. We establish a duality for these sheaves describing the coverings ramified along this divisor.

04/03/2015 17h30-18h30, Jussieu 15-16-413 Francois Charles, Université Paris-Sud XI, Orsay
Théorèmes d'irréductibilité de Bertini sur les corps finis

Sous leur forme la plus simple, les théorèmes de Bertini sont faux sur les corps finis. Poonen a cependant montré l'existence d'hypersurfaces lisses d'une variété projective lisse -- il faut cependant s'autoriser à considérer des hypersurfaces de grand degré, et parmi celles-ci une proportion strictement positive est constituée d'hypersurfaces singulières. Nous montrerons que ce problème disparaît lorsque l'on remplace lissité par irréductibilité : étant donné un schéma géométriquement irréductible X de dimension au moins 2 dans un espace projectif sur Fq, la proportion des hypersurfaces de degré d de X qui sont géométriquement irréductibles tend vers 1 quand d tend vers l'infini.


Février 2015 Affiche

04/02/2015 14h30-15h30, Jussieu 15-16-413 Jan Hendrik Bruinier, Technische Universität Darmstadt
Kudla's modularity conjecture and formal Fourier-Jacobi series.

A famous theorem of Gross, Kohnen, and Zagier states that the generating series of Heegner divisors on a modular curve is an elliptic modular form of weight 3/2 with values in the Picard group. This result can be viewed as an elegant description of the relations among Heegner divisors. More generally, Kudla conjectured that the generating series of codimension g special cycles on an orthogonal Shimura variety of dimension n is a Siegel modular form of genus g and weight 1+n/2 with coefficients in the Chow group of codimension g cycles. We report on joint work with Martin Raum on the modularity of formal Fourier-Jacobi series, which, when combined with a result of Wei Zhang, leads to a proof of Kudla's modularity conjecture.

07/01/2015 16h-17h, Jussieu 15-16-413 Christopher Daw, IHES
Heights of pre-special points of Shimura varieties.

In this talk we discuss a bound for the height of the pre-image of a special point on a Shimura variety in a fundamental set of the associated Hermitian symmetric domain. This bound is polynomial in terms of standard invariants associated with the corresponding Mumford-Tate torus and constitutes the final ingredient needed to complete a new proof of the André-Oort conjecture assuming the Generalised Riemann Hypothesis, using a strategy of Pila and Zannier. This is joint work with Martin Orr (University College London).


Janvier 2015 Affiche

07/01/2015 14h30-15h30, Jussieu 15-16-413 Hélène Esnault, Freie Universität Berlin
Groupe fondamental et cristaux.

Sur les complexes, si le groupe fondamental étale d'une variété lisse projective est trivial, alors les cristaux infinitésimaux (i.e. les connexions plates) sont triviaux (Malcev-Grothendieck). C'est vrai aussi en caractéristique positive (conjecture de Gieseker (1975), prouvée en 2010 (E-Mehta)). de Jong a conjecturé que la conclusion reste vraie avec cristaux infinitésimaux remplacés par isocristaux convergents (i.e. sur le site cristallin). Nous expliquerons des progrès récents dûs à Shiho, basés sur notre preuve de la conjecture de Gieseker, sous des hypothèses très fortes, et d'autres, sous des hypothèses plus faibles, dûs à E-Shiho.

07/01/2015 16h--17h, Jussieu 15-16-413 Fei SUN, Jussieu
The rank spectral sequence of Algebraic K-theory.

Bruno Kahn has constructed a rank spectral sequence by using a purely categorical approach. This spectral sequence was derived by using a filtration of the category of torsion-free modules over integral domain by ranks hence the name: rank spectral sequence. The $E^1$ terms of this spectral sequence coincide with $E^2$ terms of Quillen's spectral sequence used to prove the finite generation of $K$-groups of rings of integers. In this talk, we will show how to calculate the $d^1$-differential of the rank spectral sequence. We will put the differential in certain distinguished triangles of coefficients/functors over some categories, and make these functors explicit in terms of Tits buildings and Ash-Rudolph's modular symbols. To accomplish this, we shall use Quillen's categorical homotopy theory intensively and introduce the notion of extended (modular) symbols which is equivalent to Ash-Rudolph's via the suspension of Tits buildings.

07/01/2015 17h30-18h30, Jussieu 15-16-413 Christian Liedtke, Universität München
Good reduction of K3 surfaces.

By a classical theorem of Serre and Tate, extending previous results of Néron, Ogg, and Shafarevich, an Abelian variety over a p-adic field has good reduction if and only if the Galois action on its first l-adic cohomology is unramified. In this talk, we show that if the Galois action on second l-adic cohomology of a K3 surface over a p-adic field is unramified, then the surface has admits an ``RDP model'' over the that field, and good reduction (that is, a smooth model) after a finite and unramified extension. (Standing assumption: potential semi-stable reduction for K3's.) Moreover, we give examples where such an unramified extension is really needed. On our way, we establish existence existence and termination of certain semistable flops, and study group actions of models of varieties. This is joint work with Yuya Matsumoto.


Décembre 2014 Affiche

10/12/2014 14h30-15h30, IHP, salle 02 Alberto Vezzani, Université Rennes-1
Le basculement analytique rigide motivique.

Dans cet exposé, nous esquissons la démonstration de l'équivalence entre la catégorie des motifs des variétés analytiques rigides (définie par Ayoub conformément à la construction de Voevodsky) sur un corps perfectoide de caractéristique mixte et celle sur le corps perfectoide d'égale caractéristique associé. Ce résultat peut être considérée comme une généralisation motivique du théorèeme de Fontaine et Wintenberger sur l'isomorphisme des deux groupes de Galois absolus. Un outil fondamental de la preuve est la théorie des espaces perfectoides de Scholze.

10/12/2014 16h-17h, IHP, salle 02 Ivan Martino, Université de Friburg
The Ekedahl invariants for finite groups.

In 2009 Torsten Ekedahl introduced some cohomological invariants for affine finite groups over the algebraically closed field k of characteristic zero. These relate, naturally, to invariant theory for groups and also to the Noether Problem. In the fist part of this talk, I introduce these invariants and I state the literature results. Then I show that these invariants are trivial for every finite group in GL_3(C). In the end of the talk, I draw a way to compute the Ekedahl invariants for the p-discrete Heisenberg group.


Octobre 2014 Affiche

29/10/2014 14h30-15h30, Jussieu 15-16-413 Hiroyasu Miyazaki, University of Tokyo
Special values of zeta functions of singular varieties over finite fields via higher Chow group.

We give a formula of special values at non-positive integers of the zeta function of a variety over a finite field, via Bloch's higher Chow group. In the case that the variety is proper and smooth, this result was proved by M. Kerz and S. Saito. To generalize the result to the case that the variety is arbitrary, we use a tool called weight complex, which was introduced by H. Gillet and C. Soulé. In the calculation of special values, we need the fact that the weight complex of a variety is bounded in some sense, which is already known by Gillet and Soulé under the assumption of the existence of resolution of singularities. In this talk, it will be explained that the boundedness is also valid for varieties over any perfect field, in particular, over a finite field.

29/10/2014 16h--17h, Jussieu 15-16-413 Alexander Merkurjev, UCLA, Los Angeles
Reduced Whitehead group and algebraic cycles.

Let D be a finite dimensional central division algebra over a field F. The Whitehead group K_1(D) is the factor group of the multiplicative group of D modulo the commutator subgroup. The reduced Whitehead group SK_1(D) is the kernel of the reduced norm map K_1(D)--> K_1(F). If the degree of D is square-free, an old theorem of Wang states that SK_1(D) = 1. Suslin conjectured that in all other cases SK_1(D) is nontrivial generically. I plan to report on the history and recent (modest) progress on Suslin's Conjecture.}

29/10/2014 17h30-18h30, Jussieu 15-16-413 Bin Zhao, UCLA, Los Angeles
On the Mumford-Tate conjecture for abelian fourfolds.

The Mumford-Tate conjecture is a conjecture relating the Galois representation and the Hodge structure of an abelian variety over a number field. In case of abelian fourfolds, the work of Moonen and Zarhin implies that in almost all cases, the endmorphism algebra of an abelian fourfold together with its action on the tangent space of the abelian variety determines its Mumford-Tate group and image of associated Galois representation, which implies the Mumford-Tate conjecture. The only exceptional case is when the abelian fourfolds have trivial endmorphism algebra. In this case, the abelian fourfold can be either a 'generic' point on the Siegel moduli space or a non CM point on a Shimura curve constructed by Mumford. The abelian varieties coming from the Shimura curves have been extensively studied by Noot. In this talk, I will introduce a new idea attacking the Mumford-Tate conjecture for abelian fourfolds, mainly based on previous work of Noot and formal linearity of Shimura varieties of Hodge type.


Juin 2014 Affiche

11/06/2014 14h30-15h30, Jussieu, salle 15-16-101 Matthew Morrow, Université Bonn
Une conjecture de Tate variationelle en cohomologie cristalline.

Je discuterai la formulation d'une conjecture de Tate variationelle cristalline en caractéristique p, et les preuves du cas des fibrés en droites et d'un analogue infinitésimal. Par exemple, les résultats donnent une généralisation du célèbre théorème d'Artin sur les familles des surfaces K3 super-singulières. Le nouvel outil fondamental est un résultat récent en homologie cyclique topologique, obtenus en collaboration avec B. Dundas.

11/06/2014 16h-17h, Jussieu, salle 15-16-101 Patrick Brosnan, University of Maryland
Two kinds of Steenrod operations on motivic cohomology.

In topology, Steenrod squares are operations on the mod 2 cohomology of a space. The i-th Steenrod square sends mod 2 cohomology in degree n to mod 2 cohomology in degree n+i. For each odd prime p there are analogues of the Steenrod squares called the p-th operations on mod p cohomology. Motivic cohomology is the best analogue in algebraic geometry for the topologists' cohomology groups. But, unlike cohomology groups which are graded by degree, motivic cohomology groups are bigraded. The first degree is called the motivic degree and the second is called the simplicial degree. There are also two kinds of cohomology operations. The first are the simplicial operations constructed by Kriz and May. The second are the motivic ones constructed by Voevodsky. In my talk, I will explain all of this along with a theorem I proved with Roy Joshua comparing the two types of operations. (I will also sketch an independent proof of the result due to Guillou and Weibel.)


Mai 2014 Affiche

21/05/2014 14h30-15h30, Jussieu 15-25-502 Qing Liu, Université Bordeaux 1
Hypersurfaces dans un schéma projectif et un lemme de déplacement.

Soit X un schéma projectif sur un schéma affine S. Soit F une partie de X à fibres finies sur S, et "induite" par un fermé de X, e.g., l'ensemble des points génériques de toutes les fibres de X au-dessus de S (excepté les points isolés). Nous démontrons l'existence d'une hypersurface dans X qui évite F. Nous en donnons diverses applications, dont un lemme de déplacement pour les courbes horizontales dans un schéma quasi-projectif régulier au-dessus d'un anneau d'entiers. Il s'agit d'un travail commun avec O. Gabber et D. Lorenzini.

21/05/2014 16h-17h, Jussieu 15-25-502 Vadim Vologodsky, University of Oregon
Degeneration of algebraic varieties and K-theory.

The talk is based on our joint works with Kontsevich, Schwarz, and Walcher. Let X be a smooth proper algebraic variety over the formal punctured disk, maximally degenerated at the origin. Generalizing Mumford's construction in the case of abelian varieties I will attach to X a certain mixed Tate motive over the punctured disk and explain some application of this construction to the Mirror Symmetry.

21/05/2014 17h30-18h30, Jussieu 15-25-502 Bruno Kahn, CNRS, Institut de Mathématiques de Jussieu
Faisceaux à réciprocité.

On définit une notion de réciprocité sur les préfaisceaux avec transferts (PST) de Voevodsky. Pour cela, on enrichit les groupes de 0-cycles avec module de Kerz-Saito en leur conférant une structure de PST. Les PST invariants par homotopie sont à réciprocité, ainsi que ceux représentables par un groupe algébrique commutatif: ce dernier point généralise un théorème classique de Rosenlicht qui est à l'origine de ce travail. On généralise aux PST à réciprocité un certain nombre des propriétés démontrées par Voevodsky pour les PST invariants par homotopie: préservation de cette propriété par faisceautisation Zariski ou Nisnevich, injectivité semi-locale. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Shuji Saito et Takao Yamazaki.


Avril 2014 Affiche

30/04/2014 14h30-15h30, Jussieu 15-25-502 Marcello Bernardara, Institut de Mathématiques de Toulouse, Université Paul Sabatier
Motifs non-commutatifs et conjecture de smash-nilpotence.

Dans cet exposé, je donnerai la définition de la smash-nilpotence pour les motifs non-commutatifs, ce qui permet d'énoncer une version non-commutative de la conjecture de Voevodsky. Un pont entre les motifs non-commutatifs et les motifs de Chow permet de montrer que, pour une variété lisse projective, la conjecture non-commutative et la conjecture commutative sont équivalentes. En présence dยขune décomposition semi-orthogonale pour la catégorie dérivée de la variété, cette équivalence permet de simplifier la conjecture à travers la décomposition induite sur le motif non-commutatif. Je donnerai des exemples explicites où cela permet de démontrer la conjecture. Ces résultats sont obtenus en collaboration avec M.Marcolli et G.Tabuada.

30/04/2014 16h-17h, Jussieu 15-25-502 Christian Schnell, Stony Brook University
The extended locus of Hodge classes.

According to a famous theorem by Cattani, Deligne, and Kaplan, the locus of Hodge classes in a (polarized and integral) variation of Hodge structure over an algebraic variety is a countable union of algebraic varieties. In the talk, I will explain how one can improve their result by introducing an "extended locus of Hodge classes" that also takes into account integral classes that become Hodge classes "in the limit".

30/04/2014 17h30-18h30, Jussieu 15-25-502 Alena Pirutka, CNRS, École Polytechnique
Sur la version entière de la conjecture de Tate.

Dans cet exposé on discutera des contre-exemples à la version entière de la conjecture de Tate pour des variétés sur un corps fini, en suivant l'approche d'Atiyah-Hirzebruch et Totaro. La méthode utilise les espaces classifiants des groupes algébriques, ainsi que les opérations de Steenrod et elle permet de trouver des classes non algébriques dans les groupes de cohomologie modulo la torsion.


Mars 2014 Affiche

19/03/2014 14h30-15h30, salle 8029, Paris 7, bât. Sophie Germain Nikita Semenov, Mainz
Integral motives and the Maranda-theorem.

Consider the category of Grothendieck-Chow motives with coefficients in a commutative ring R. In the talk I would like to compare these categories for different choices of R, concentrating on the case when R is the ring of integers. I am going to discuss the Krull-Schmidt theorem and relate some motivic problems to a classical result from the integral representation theory - the Maranda theorem.

19/03/2014 16h-17h, salle 8029, Paris 7, bât. Sophie Germain David Harari, Université Paris-Sud
Dualité pour les courbes sur C((t)).

Le corps quasi-fini k=C((t)) possède des propriétés assez analogues à celles des corps finis. Si K est le corps des fonctions d'une courbe sur k, on peut donc s'attendre à ce que K se comporte comme un corps global. Dans ce travail (commun avec J.-L. Colliot-Thélène), on démontre des théorèmes de dualité arithmétique sur le corps K, qui présentent des similitudes mais aussi des différences avec ceux connus sur les corps globaux. Des applications aux points rationnels des espaces principaux homogènes de tores algébriques sont également discutées.

19/03/2014 17h30-18h30, salle 8029, Paris 7, bât. Sophie Germain Bruno Klingler, Paris 7
The hyperbolic Ax-Lindemann-Weierstrass conjecture.

The hyperbolic Ax-Lindemann-Weierstrass conjecture is a functional algebraic independence statement for the uniformizing map of an arithmetic variety. In this talk I will describe the conjecture, its role and a proof (joint work with E.Ullmo and A. Yafaev).


Février 2014 Affiche

12/02/2014 14h30-15h30, Jussieu 15-16-101 Carlos Simpson, CNRS, Université de Nice
Fibrés stables sur les surfaces quintiques.

On considère une surface X dans P3 de degré 5, très générale. Avec la construction de Serre, on obtient une description de l'espace de modules MX(2,1,c2) des fibrés stables de rang 2, de degré 1 avec c2 donné. Il est vide pour c2 ≤ 3 et on prouve que c'est irréductible pour tout c2 ≥ 4, génériquement lisse de dimension attendue pour c2 ≥10. Ceci est un travail en commun avec Nicole Mestrano, poursuivant l'idée d'étudier les espaces de modules pour des valeurs intermédiaires de c2.

12/02/2014 16h-17h, Jussieu 15-16-101 Jean-Louis Colliot-Thélène, CNRS, Université Paris-Sud
Cohomologie non ramifiée universelle (travail avec A. Auel et R. Parimala).

Soit X une variété projective et lisse sur le corps C des complexes. Si X est rationnelle, ou même seulement stablement rationnelle, alors pour tout corps K contenant C, pour tout entier naturel n, le n-ième groupe de cohomologie non ramifiée à coefficients Q/Z de la K-variété déduite de X par changement de corps de base de C à K est réduit au n-ième groupe de cohomologie de K. On rappellera les liens entre cette propriété et la trivialité du groupe de Chow des zéro-cycles de X après toute extension de corps K/ C.
La rationalité des hypersurfaces cubiques lisses générales de dimension 4 est un problème ouvert, déjà pour les hypersurfaces qui contiennent un 2-plan. Pour ces dernières, en utilisant des résultats sur la cohomologie non ramifiée des quadriques provenant de la K-théorie algébrique et dus à Kahn, Rost, Sujatha, on montre que le troisième groupe de cohomologie non ramifiée est universellement trivial.

12/02/2014 17h30-18h30, Jussieu 15-16-101 Claire Voisin, CNRS, École Polytechnique
Décomposition de la diagonale et invariants birationnels.

Nous discutons différentes versions de la décomposition de la diagonale pour une variété à groupe de Chow CH0 trivial. L'existence d'une telle décomposition est un critère nécessaire pour la rationalité stable. La version la plus faible est cohomologique mais pour les variétés de dimension 3, elle a déjà des conséquences considérables. Nous montrerons en particulier comment elle contrôle la cohomologie non ramifiée universelle de degré 3. Ceci permet de construire des variétés rationnellement connexes de dimension 3 satisfaisant les critères de rationalité d'Artin-Mumford et Clemens-Griffiths mais non stablement rationnelles.


Janvier 2014 Affiche

15/01/2014 14h30-15h30, salle 2018, Paris 7, bât. Sophie Germain Spencer Bloch, University of Chicago
The infinitesimal Hodge conjecture.

(Joint with H. Esnault and M. Kerz) The talk will focus on the result in characteristic 0. Given a smooth projective scheme X over k[[t]], where k is a field of characteristic zero and a codim. p algebraic cycle class on the closed fibre X_0, the cycle, viewed as an element in the Grothendieck group K_0(X_0), lifts infinitesimally to all orders if and only if the the horizontal lifting of the cycle class stays in the p-th level of the Hodge filtration. Time permitting, I will talk about the K-cohomology of the formal scheme.

15/01/2014 16h-17h, salle 2018, Paris 7, bât. Sophie Germain Amaury Thuillier, Université Lyon 1
La conjecture de Kato sur les corps finis, suivant Jannsen et Berkovich.

En 1985, Kazuya Kato a conjecturé un principe de Hasse cohomologique généralisant à tout schéma arithmétique propre et régulier le classique théorème de Brauer-Hasse-Noether sur le groupe de Brauer d'un corps global. En 2010, Moritz Kerz et Shuji Saito ont démontré les conjectures de Kato pour des coefficients premiers aux caractéristiques résiduelles. Dans le cas d'un schéma sur un corps fini, Uwe Jannsen a donné antérieurement une démonstration s'affranchissant de cette restriction mais conditionnée à la résolution des singularités en caractéristique positive. Dans cet exposé, j'expliquerai comment la géométrie de Berkovich permet d'éviter la résolution des singularités et donc d'achever la démonstration de Jannsen.