Les exposés ont lieu le mardi de 12h15 à 13h15 dans la salle de conférence du Centre de mathématiques Laurent Schwartz. Ils sont suivis d'un déjeuner (sandwich et dessert) offert à tous les participants.
On a tous l'habitude d'aborder les problèmes géométriques dans les espaces affines. Mais est-ce possible de faire de la géométrie dans d'autres types d'espaces ? La réponse est oui : les espaces projectifs. Ils permettent de transposer (et généraliser) des théorèmes qu'on pourrait aborder a priori du point de vu affine, et mais dont la résolution est beaucoup plus simple quand ils sont abordés de manière projective. Je propose de faire une brève présentation des notions fondamentales de ces espaces, et d'illustrer par un exemple comment ils peuvent servir à démontrer sans effort certains problèmes géométriques.
Mardi 17 novembre 2015 : Chenlin Gu
Résumé
Les graphes expanseurs sont des graphes à la fois de grande connexité mais pas trop denses, qui émergent dans beaucoup de domaines des mathématiques et de l'informatique.
Le but de cette séance est de présenter la base des graphes expanseurs, leur représentation par la matrice d'adjacence et les propriétés associées à leurs valeurs propres. Plus précisément, on s'intéresse à la différence entre les deux plus grandes valeurs propres, qui décrivent la connexité du graphe. Ensuite, on va étudier l'existence des expanseurs et le comportement asymptotique de la deuxième plus grande valeur propre, qui introduit la définition du graphe de Ramanujan.
Cet exposé est sur notre PSC et nous partagerons nos travaux dans les séances suivantes.
Mardi 3 novembre 2015 : Xiaozong Wang
Introduction aux algèbres des quaternions et le théorème de Witt
On sait bien que le corps (non-commutatif) des quaternions de Hamilton, qui a 1,i,j,k comme base sous les relations i^2=j^2=-1, ij=-ji=k, est une algèbre de dimension 4 sur le corps des réels. En généralisant cette notion, on peut aussi définir une algèbre des quaternions (a,b) sur un corps K avec a,b dans K comme une algèbre qui a 1,i,j,ij comme base sous les relations i^2=a, j^2=b, ij=-ji. Dans cet exposé, je présenterai leurs propriétés et la classification des algèbres des quaternions par la conique C(a,b) associée à chaque (a,b). Cette dernière est connue comme le théorème de Witt.
Mardi 6 octobre 2015 : Thomas Megarbane (CMLS)
Le théorème de Mordell-Weil
Les courbes elliptiques voient leur origine dans les équations diophantiennes. Alors que les droites et les coniques sont les représentants respectifs des équations diophantiennes de degré un et deux, les courbes elliptiques représentent les équations diophantiennes de degré trois. Du fait de ce lien, les mathématiciens ont été amenés à s'intéresser à la structure de leurs intersections avec les réseaux du plan, par exemple Z^2. Elles sont aussi utilisées dans d'autres branches des mathématiques. Elles ont en particulier constitué, avec les formes modulaires, un des fondements de la démonstration du théorème de Fermat-Wiles.
Le but de cette présentation est d'étudier le théorème de Mordell-Weil, qui décrit la structure algébrique des points rationnels d'une courbe elliptique. Pour ce faire, on s'intéressera d'abord aux propriétés générales des courbes elliptiques afin de simplifier notre étude. Nous nous pencherons ensuite sur la loi d'addition que l'on peut définir sur les courbes elliptiques, qui nous permet de donner une structure de groupe aux points rationnels de la courbe. Le théorème de Mordell-Weil permet d'affiner cette structure en nous donnant un résultat plus fort : l'ensemble des points rationnels forme un groupe abélien de type fini. Plus précisément, c'est la somme d'un groupe abélien fini, l'ensemble des points de torsion, et d'un groupe abélien libre de type fini.